Black-Scholesin malli oli ensimmäinen laajalti käytetty matemaattinen menetelmä optiosopimuksen teoreettisen arvon laskemiseksi.
Mallin kaavassa käytetään osakkeen hintaa, odotettuja osinkoja, option toteutushintaa, odotettuja korkoja, aikaa optioiden erääntymiseen ja odotettua volatiliteettia.
Tässä artikkelissa käsitellään Black-Scholesin mallia yksityiskohtaisesti ja tarkastellaan kaavaan perustuvia oletuksia sekä optioiden hinnoittelua.
Black-Scholes-malli
Termi Black ja Scholes viittaa kolmeen rahoitusmatematiikan käsitteeseen. Erotamme toisistaan Black-Scholesin mallin, Black-Scholesin osittaisdifferentiaaliyhtälön ja siitä johdetun Black-Scholesin kaavan. Fischer Black ja Myron Scholes kehittivät nämä käsitteet vuonna 1973.
Black-Scholesin malli on johdannaisia sisältävien rahoitusmarkkinoiden matemaattinen malli. Mallin parabolisesta osittaisdifferentiaaliyhtälöstä, joka tunnetaan Black-Scholesin yhtälönä, voidaan johtaa Black-Scholesin kaava. Tätä kaavaa voidaan käyttää teoreettisen hinta-arvion tekemiseen tyyliltään eurooppalaiselle optiolle. Tämä malli osoittaa myös, että optiolla on yksilöllinen hinta, kun otetaan huomioon arvopaperin riski ja sen odotettu tuotto.
Lyhyesti sanottuna edellä mainitut henkilöt ovat kehittäneet kaavan, jota voidaan käyttää optioiden hintojen laskemiseen. Myöhemmin Merton kehitti mallia edelleen, minkä vuoksi siitä käytetään joskus nimitystä Black-Scholes-Merton (BSM) -malli. Myron Scholes sai heidän työstään Nobelin taloustieteen palkinnon vuonna 1997, mutta Black oli siihen mennessä jo kuollut.
Black-Scholes-mallin oletukset
Black-Scholesin mallissa oletetaan, että markkinoilla on vähintään yksi riskipitoinen omaisuuserä, yleensä osake. Lisäksi markkinoilla on yksi riskitön omaisuuserä, esimerkiksi valtion joukkovelkakirjalaina. Tästä käytetään termiä riskitön korko.
Tämän jälkeen riskipitoisen omaisuuserän osalta tehdään seuraavat oletukset:
- Hinnan muutoksen pohjana on stokastinen prosessi. Niiden on siis täytettävä satunnaiskulun teorian vaatimukset. Tarkemmin sanottuna, hinnan muutokset mallinnetaan käyttämällä geometristä Brownin liikettä (GBM).
- Kyseinen arvopaperi ei maksa osinkoa.
- Kyseessä on tyyliltään eurooppalainen johdannainen, eli on vain yksi hetki, jolloin optio voidaan toteuttaa.
Riskittömän koron (valtion joukkovelkakirjalaina) osalta tehdään seuraavat oletukset:
- Rahaa voidaan lainata ja antaa lainaksi yhtä suurella jatkuvalla korkokertoimella, joka pysyy vakiona ajan myötä.
- Osakkeita voidaan ostaa ja myydä ilman kaupankäyntikuluja transaktioiden määrästä riippumatta.
- Mahdollisuus lainata ja antaa lainaksi mikä tahansa määrä käteistä, jopa murto-osia, riskittömällä korolla.
- Markkinoilla ei ole arbitraasimahdollisuuksia.
Edellä esitetyn mallin avulla Black ja Scholes osoittivat, että on mahdollista luoda suojattu (hedged) positio eurooppalaisille osto- ja myyntioptioille. Suojaus muodostuu ostetusta osakepositiosta ja lyhyeksi myydystä optiosta, jonka arvo ei riipu osakkeen hinnasta.
Heidän dynaaminen suojausstrategiansa johti osittaisdifferentiaaliyhtälöön, joka määritti option hinnan. Black-Scholesin kaava on johdettu tästä yhtälöstä.
Optioiden hinnan määrittely Black-Scholesin kaavalla
Optioiden hinnat määritetään näin ollen Black-Scholesin kaavalla. Kaavassa käytetään osakekursseja, optioiden toteutushintoja, jäljellä olevaa aikaa, volatiliteettia ja odotettuja korkoja. Ainoastaan implisiittistä (odotettua) volatiliteettia ei voida havaita suoraan markkinoilla. Se johdetaan yleensä muiden optioiden hinnasta. Kaavan tekijät on selitetty alla.
- C = osto-option hinta
- N = normaalijakauman kumulatiivinen jakaumafunktio
- St = omaisuuserän spot-hinta (esimerkiksi osakkeen nykyhinta)
- K = option toteutushinta
- r = riskitön korko vuositasolla
- t = aika option erääntymiseen (yleensä vuosina)
- σ = omaisuuserän volatiliteetti vuositasolla
Eri muuttujien vaikutusta option hintaan voi kokeilla esimerkiksi tämän Cboen optiolaskurin avulla. Laskurissa sijoittaja voi ottaa myös huomioon mahdolliset osingot, joita Black-Scholesin kaava ei perusmuodossa ota huomioon. Lisäksi sen avulla sijoittaja voi laskea vastaavien tyyliltään amerikkalaisten optioiden hinnan tai optioiden kreikkalaisten kirjaimien arvot.
Miten Black-Scholesin malli hyödyttää optiosijoittajia?
Nykyään optioiden arvostusta säännellään sähköisesti. Sijoittajien näytöillä näkyvät optioiden hinnat on hinnoiteltu Black-Scholesin mallin mukaisesti. Tietokoneet laskevat jatkuvasti optioiden arvoja useiden muuttujien perusteella. Tämä on tehnyt optiokaupasta läpinäkyvää ja yksityisen sijoittajan ulottuvilla olevaa.
Mallin keskeinen ajatus on suojautua optioilta ostamalla ja myymällä kohde-etuutta juuri oikeassa suhteessa, jolloin siihen liittyvä riski eliminoidaan. Tällaisesta suojauksesta käytetään termiä ”continuously revised delta hedging” (jatkuvasti tarkistettu delta-suojaus), ja se on monimutkaisempien suojausstrategioiden perusta. Nämä strategiat ovat hyvin monimutkaisia, ja niitä toteuttavat yleensä suuret investointipankit ja hedge-rahastot.
Kaupankäynti optioilla LYNXin kautta Black-Scholesin mallia höydyntäen
Sijoittajat voivat käydä optiokauppaa alhaisin hinnoin LYNXin kautta. Voit käydä kauppaa kaikilla eurooppalaisilla ja amerikkalaisilla osakeoptioilla ja indeksioptioilla yhdellä hiiren klikkauksella. Sinulla on myös pääsy edistyksellisiin kaupankäyntityökaluihin, kuten OptionTraderiin, ja voit lähettää optioyhdistelmiä yhtenä transaktiona pörssiin.
